小升初考試必備數(shù)學(xué)10大難點和34個重難點公式
小升初可是關(guān)鍵階段，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)非常重要。今天給各位總結(jié)了小升初數(shù)學(xué)常考難點以及它們的解題技巧，小編在這里整理了相關(guān)資料，希望能幫助到那您。
小升初數(shù)學(xué)必考10大難點匯總
年齡問題的三個基本特征
①兩個人的年齡差是不變的;
?、趦蓚€人的年齡是同時增加或者同時減少的;
?、蹆蓚€人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;
雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來;
基本思路：
①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：
?、诩僭O(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;
?、勖總€事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因;
?、茉俑鶕?jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。
基本公式：
?、侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
?、诎阉型米蛹僭O(shè)成雞：兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))
關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
盈虧問題
基本概念：一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?
基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.
基本題型：
?、僖淮斡杏鄶?shù)，另一次不足
基本公式：總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
?、诋?dāng)兩次都有余數(shù)
基本公式：總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
③當(dāng)兩次都不足
基本公式：總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。
關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。
牛吃草問題
基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的;
關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。
基本公式：
生長量=(較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù))÷(長時間-短時間);
總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量;
抽屜原理
抽屜原則一：如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:
?、賙=[n/m ]+1個物體：當(dāng)n不能被m整除時。
?、趉=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。
理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運算。
定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。
基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進(jìn)行運算。
關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：
①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。
?、诿總€新定義的運算符號只能在本題中使用。
綜合行程
基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.
基本公式：路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間
關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)
追及問題：追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)
流水問題：順?biāo)谐?(船速+水速)×順?biāo)畷r間
逆水行程=(船速-水速)×逆水時間
順?biāo)俣?船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
水速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
工程問題
基本公式：
?、俟ぷ骺偭?工作效率×工作時間
②工作效率=工作總量÷工作時間
?、酃ぷ鲿r間=工作總量÷工作效率
基本思路：
?、偌僭O(shè)工作總量為“1”(和總工作量無關(guān));
?、诩僭O(shè)一個方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù))，利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。
立體圖形
長方體：
8個頂點;6個面;相對的面相等;12條棱;相對的棱相等;S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh
正方體：
8個頂點;6個面;所有面相等;12條棱;所有棱相等;S=6a2 V=a3
圓柱體：
上下兩底是平行且相等的圓;側(cè)面展開后是長方形;S=S側(cè)+2S底 S側(cè)=Ch V=Sh
圓錐體：
下底是圓;只有一個頂點;l:母線，頂點到底圓周上任意一點的距離;S=S側(cè)+S底
S側(cè)=rl V=Sh
球體圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。S=4r² V=r³
比和比例
比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。
比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。
比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。
比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。
反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。
比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。
小升初數(shù)學(xué)必考的34個數(shù)學(xué)重難點公式
1、和差倍問題
| 和差問題 | 和倍問題 | 差倍問題 | |
| 已知條件 | 幾個數(shù)的和與差 | 幾個數(shù)的和與倍數(shù) | 幾個數(shù)的差與倍數(shù) |
| 公式適用范圍 | 已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 | ||
| 公式 | ①(和－差)÷2=較小數(shù) 較小數(shù)＋差=較大數(shù) 和－較小數(shù)=較大數(shù) ②(和＋差)÷2=較大數(shù) 較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù) | 和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 和－小數(shù)=大數(shù) | 差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)＋差=大數(shù) |
| 關(guān)鍵問題 | 求出同一條件下的 | ||
| 和與差 | 和與倍數(shù) | 差與倍數(shù) | |
2、年齡問題的三個基本特征
?、賰蓚€人的年齡差是不變的;
?、趦蓚€人的年齡是同時增加或者同時減少的;
③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;
3、歸一問題的基本特點
問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關(guān)鍵問題：
根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;
4、植樹問題
| 基本類型 | 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 | 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 | 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 | 封閉曲線上植樹 |
| 基本公式 | 棵數(shù)=段數(shù)＋1 棵距×段數(shù)=總長 | 棵數(shù)=段數(shù)－1 棵距×段數(shù)=總長 | 棵數(shù)=段數(shù) 棵距×段數(shù)=總長 | |
| 關(guān)鍵問題 | 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系 | |||
5、雞兔同籠問題
基本概念：
雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來;
基本思路：
?、偌僭O(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：
②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因;
④再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。
基本公式：
?、侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))
關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
6、盈虧問題
基本概念：
一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>
基本思路：
先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。
基本題型：
?、僖淮斡杏鄶?shù)，另一次不足;
基本公式：總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
?、诋?dāng)兩次都有余數(shù);
基本公式：總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
③當(dāng)兩次都不足;
基本公式：總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
基本特點：
對象總量和總的組數(shù)是不變的。
關(guān)鍵問題：
確定對象總量和總的組數(shù)。
7、牛吃草問題
基本思路：
假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點：
原草量和新草生長速度是不變的;
關(guān)鍵問題：
確定兩個不變的量。
基本公式：
生長量=(較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù))÷(長時間-短時間);
總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量;
8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律
周期現(xiàn)象：
事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。
周期：
我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。
關(guān)鍵問題：
確定循環(huán)周期。
閏 年：一年有366天;
?、倌攴菽鼙?整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;
平 年：一年有365天。
?、倌攴莶荒鼙?整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;
9、平均數(shù)
基本公式：
①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)
總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)
總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)
?、谄骄鶖?shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)
基本算法：
①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計算.
?、诨鶞?zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù);以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②
10、抽屜原理
抽屜原則一：
如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：
如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:
?、賙=[n/m ]+1個物體：當(dāng)n不能被m整除時。
?、趉=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。
理解知識點：
[X]表示不超過X的最大整數(shù)。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關(guān)鍵問題：
構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運算。
11、定義新運算
基本概念：
定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。
基本思路：
嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進(jìn)行運算。
關(guān)鍵問題：
正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：
?、傩碌倪\算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。
?、诿總€新定義的運算符號只能在本題中使用。
12、數(shù)列求和
等差數(shù)列：
在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。
基本概念：
首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示;
項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示;
通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;
數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.
基本思路：
等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：
通項公式：an = a1+(n-1)d;
通項=首項+(項數(shù)一1)×公差;
數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;
數(shù)列和=(首項+末項)×項數(shù)÷2;
項數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d+1;
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1;
公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);
公差=(末項-首項)÷(項數(shù)-1);
關(guān)鍵問題：
確定已知量和未知量，確定使用的公式;
13、二進(jìn)制及其應(yīng)用
十進(jìn)制：
用0～9十個數(shù)字表示，逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))
二進(jìn)制：
用0～1兩個數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。
(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十進(jìn)制化成二進(jìn)制：
?、俑鶕?jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。
?、谙日页霾淮笥谠摂?shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點即可寫出。
14、加法乘法原理和幾何計數(shù)
加法原理：
如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。
關(guān)鍵問題：
確定工作的分類方法。
基本特征：
每一種方法都可完成任務(wù)。
乘法原理：
如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。
關(guān)鍵問題：
確定工作的完成步驟。
基本特征：
每一步只能完成任務(wù)的一部分。
直線：
一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。
直線特點：
沒有端點，沒有長度。
線段：
直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點：
有兩個端點，有長度。
射線：
把直線的一端無限延長。
射線特點：
只有一個端點;沒有長度。
?、贁?shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)一1);
?、跀?shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);
?、蹟?shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：
?、軘?shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)
15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)
質(zhì)數(shù)：
一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。
合數(shù)：
一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。
質(zhì)因數(shù)：
如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
分解質(zhì)因數(shù)：
把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。
分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：
N= ，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1
求約數(shù)個數(shù)的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互質(zhì)數(shù)：
如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。
16、約數(shù)與倍數(shù)
約數(shù)和倍數(shù)：
若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
公約數(shù)：
幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。
最大公約數(shù)的性質(zhì)：
1、 幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。
2、 幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。
3、 幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。
4、 幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。
例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;
18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作(12，18)=6;
求最大公約數(shù)基本方法：
1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。
2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。
3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。
公倍數(shù)：
幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;
18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36;
最小公倍數(shù)的性質(zhì)：
1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。
2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。
求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法
17、數(shù)的整除
基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“ ”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;
整除判斷方法：
1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
?、倌┤簧蠑?shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
?、谄鏀?shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
?、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩?shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7.能被13整除：
?、倌┤簧蠑?shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
?、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩?shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
整除的性質(zhì)：
1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。
18、余數(shù)及其應(yīng)用
基本概念：
對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
余數(shù)的性質(zhì)：
?、儆鄶?shù)小于除數(shù)。
?、谌鬭、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
?、躠與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。
19、余數(shù)、同余與周期
同余的定義：
?、偃魞蓚€整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。
?、谝阎齻€整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。
同余的性質(zhì)：
?、僮陨硇裕篴≡a(mod m);
②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m);
③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
?、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m);
?、咄缎?若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c);
關(guān)于乘方的預(yù)備知識：
?、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b
?、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
被3、9、11除后的余數(shù)特征：
?、僖粋€自然數(shù)M，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或(mod 3);
?、谝粋€自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
費爾馬小定理：
如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。
20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用
基本概念與性質(zhì)：
分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。
分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。
分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。
百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。
常用方法：
?、倌嫦蛩季S方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。
?、趯?yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。
③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)(在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。
?、芗僭O(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。
?、萘坎蛔兯季S方法：在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。
?、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。
?、咄堵史ǎ嚎偭亢头至恐g按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。
?、酀舛扰浔确ǎ阂话銘?yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。
21、分?jǐn)?shù)大小的比較
基本方法：
?、偻ǚ址肿臃ǎ菏顾蟹?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。
②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。
?、刍鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。
④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。
?、荼堵时容^法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律)
?、揶D(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分?jǐn)?shù)的值)后進(jìn)行比較。
⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。
?、啻笮”容^法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。
?、岬箶?shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。
⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。
22、分?jǐn)?shù)拆分
將一個分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式
23、完全平方數(shù)
完全平方數(shù)特征：
1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù);反之成立。
5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。
6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。
7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。
平方差公式：
X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：
(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比：
兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。
比值：
比的前項除以后項的商，叫做比值。
比的性質(zhì)：
比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。
比例：
表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質(zhì)：
兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：
若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。
反比例：
若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。
比例尺：
圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：
把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。
25、綜合行程
基本概念：
行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.
基本公式：
路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間
關(guān)鍵問題：
確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)
追及問題：追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)
流水問題：順?biāo)谐?(船速+水速)×順?biāo)畷r間
逆水行程=(船速-水速)×逆水時間
順?biāo)俣?船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
水 速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。
過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。
主要方法：畫線段圖法
基本題型：
已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量，求第三個量。
26、工程問題
基本公式：
?、俟ぷ骺偭?工作效率×工作時間
?、诠ぷ餍?工作總量÷工作時間
③工作時間=工作總量÷工作效率
基本思路：
?、偌僭O(shè)工作總量為“1”(和總工作量無關(guān));
?、诩僭O(shè)一個方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù))，利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關(guān)鍵問題：
確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。
27、邏輯推理
條件分析—假設(shè)法：
假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。
條件分析—列表法：
當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。
條件分析—圖表法：
當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。
邏輯計算：
在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。
簡單歸納與推理：
根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。
28、幾何面積
基本思路：
在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。
常用方法：
1.連輔助線方法
2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。
3.大膽假設(shè)(有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上)。
4.利用特殊規(guī)律
?、俚妊苯侨切危阎我庖粭l邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)
②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。
?、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。
29、時鐘問題—快慢表問題
基本思路：
1、按照行程問題中的思維方法解題;
2、不同的表當(dāng)成速度不同的運動物體;
3、路程的單位是分格(表一周為60分格);
4、時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間;
5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系;
30、時鐘問題—鐘面追及
基本思路：
封閉曲線上的追及問題。
關(guān)鍵問題：
?、俅_定分針與時針的初始位置;
?、诖_定分針與時針的路程差;
基本方法：
①分格方法：
時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周;而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。
?、诙葦?shù)方法：
從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60度，即6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度，即1/2度。
31、濃度與配比
經(jīng)驗總結(jié)：
在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)(例如糖、鹽、酒精等)叫溶質(zhì)。
溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)(例如水、汽油等)叫溶劑。
溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體(例如鹽水、糖水等)叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量;
溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度;
濃度= 溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/(溶劑+溶質(zhì))×100%
經(jīng)驗總結(jié)：
在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
32、經(jīng)濟(jì)問題
利潤的百分?jǐn)?shù)=(賣價-成本)÷成本×100%;
賣價=成本×(1+利潤的百分?jǐn)?shù));
成本=賣價÷(1+利潤的百分?jǐn)?shù));
商品的定價按照期望的利潤來確定;
定價=成本×(1+期望利潤的百分?jǐn)?shù));
本金：儲蓄的金額;
利率：利息和本金的比;
利息=本金×利率×期數(shù);
含稅價格=不含稅價格×(1+增值稅稅率);
33、不定方程
一次不定方程：
含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常規(guī)方法：
觀察法、試驗法、枚舉法;
多元不定方程：
含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：
根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知識點：
列方程、數(shù)的整除、大小比較;
解不定方程的步驟：
1、列方程;2、消元;3、寫出表達(dá)式;4、確定范圍;5、確定特征;6、確定答案;
技巧總結(jié)：
A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù);
B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù);
34、循環(huán)小數(shù)
把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則：
?、偌冄h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。
?、诨煅h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。
分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：
?、僖粋€最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。
?、谝粋€最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。
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