證明三角平分線判定方法
三角形其中一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。下面小編給大家?guī)?lái)證明三角平分線判定方法，希望能幫助到大家!
證明三角平分線判定方法
1.角平分線線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
2.三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例
在三角形ABC中，當(dāng)AD是頂角A的角平分線交底邊于D時(shí)，BD/CD=AB/AC。
證明：
如圖，AD為△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF。
S△ABD：S△ACD=BD/CD
又因?yàn)镾△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC。
證明三角平分線判定定理
1.角平分線可以得到兩個(gè)相等的角。
2.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
3.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，稱作三角形內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。
4.三角形一個(gè)角的平分線，這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例。
以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交角AOB兩邊 于點(diǎn)M，N。
分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧， 兩弧交于點(diǎn)P。
作射線OP。
射線OP即為所求。
證明：連接PM,PN在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)∴∠POM=∠PON，即射線OP為角AOB的角平分線
當(dāng)然，角平分線的作法有很多種。
下面再提供一種尺規(guī)作圖的方法供參考：
在兩邊OA、OB上分別截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;
連接CN與DM，相交于P;3.作射線OP。
射線OP即為所求。
證明三角平分線判定性質(zhì)
三角形中的性質(zhì)。
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且到各邊的距離相等.這個(gè)點(diǎn)稱為內(nèi)心 (即以此點(diǎn)為圓心可以在三角形內(nèi)部畫(huà)一個(gè)內(nèi)切圓)。
三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。
若AD是△ABC的角平分線，則 BD/DC=AB/AC 。
證明：作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E即∠ACE=∠E∴ AE=AC又
∵BA/AE=BD/DC∴BA/AC=BD/DC
以上均為階段知識(shí)點(diǎn)及證法，詳見(jiàn)“角平分線定理”“三角形角平分線”。
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