高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)歸納

　　第一部分 集合

　　(1)含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2^n,真子集數(shù)為2^n-1;非空真子集的數(shù)為2^n-2;

　　(2) 注意：討論的時(shí)候不要遺忘了 的情況。

　　(3)

　　第二部分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

　　1.映射：注意 ①第一個(gè)集合中的元素必須有象;②一對(duì)一，或多對(duì)一。

　　2.函數(shù)值域的求法：①分析法 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函數(shù)單調(diào)性 ;

　?、輷Q元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、絕對(duì)值的意義等);⑧利用函數(shù)有界性( 、 、 等);⑨導(dǎo)數(shù)法

　　3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

　　(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

　?、?若f(x)的定義域?yàn)椤瞐，b〕,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域。

　　(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

　?、偈紫葘⒃瘮?shù) 分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù) 與外函數(shù) ;

　?、诜謩e研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;

　?、鄹鶕?jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

　　注意：外函數(shù) 的定義域是內(nèi)函數(shù) 的值域。

　　4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。

　　5.函數(shù)的奇偶性

　?、藕瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;

　　⑵ 是奇函數(shù) ;

　?、?是偶函數(shù) ;

　?、绕婧瘮?shù) 在原點(diǎn)有定義，則 ;

　?、稍陉P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;

　　(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性;

　　6.函數(shù)的單調(diào)性

　?、艈握{(diào)性的定義：

　?、?在區(qū)間 上是增函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有 ;

　?、?在區(qū)間 上是減函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有 ;

　?、茊握{(diào)性的判定

　　1 定義法：

　　注意：一般要將式子 化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào);

　?、趯?dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分);

　?、蹚?fù)合函數(shù)法(見2 (2));

　?、軋D像法。

　　注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

　　7.函數(shù)的周期性

　　(1)周期性的定義：

　　對(duì)定義域內(nèi)的任意 ，若有 (其中 為非零常數(shù))，則稱函數(shù) 為周期函數(shù)， 為它的一個(gè)周期。

　　所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。

　　(2)三角函數(shù)的周期

　?、?;② ;③ ;

　?、?;⑤ ;

　　⑶函數(shù)周期的判定

　?、俣x法(試值) ②圖像法 ③公式法(利用(2)中結(jié)論)

　　⑷與周期有關(guān)的結(jié)論

　?、?或 的周期為 ;

　?、?的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱 周期為2 ;

　　③ 的圖象關(guān)于直線 軸對(duì)稱 周期為2 ;

　?、?的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，直線 軸對(duì)稱 周期為4 ;

　　8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

　　⑴冪函數(shù)： ( ;⑵指數(shù)函數(shù)： ;

　?、菍?duì)數(shù)函數(shù): ;⑷正弦函數(shù): ;

　　⑸余弦函數(shù)： ;(6)正切函數(shù)： ;⑺一元二次函數(shù)： ;

　?、唐渌Ｓ煤瘮?shù)：

　　1 正比例函數(shù)： ;②反比例函數(shù)： ;特別的

　　2 函數(shù) ;

　　9.二次函數(shù)：

　　⑴解析式：

　?、僖话闶剑?;②頂點(diǎn)式： ， 為頂點(diǎn);

　?、哿泓c(diǎn)式： 。

　　⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

　?、匍_口方向;②對(duì)稱軸;③端點(diǎn)值;④與坐標(biāo)軸交點(diǎn);⑤判別式;⑥兩根符號(hào)。

　?、嵌魏瘮?shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合;②分類討論。

　　10.函數(shù)圖象：

　?、艌D象作法 ：①描點(diǎn)法 (特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

　　⑵圖象變換：

　　1 平移變換：ⅰ ，2 ———“正左負(fù)右”

　?、?———“正上負(fù)下”;

　　3 伸縮變換：

　?、?， ( ———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的 倍;

　?、?， ( ———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的 倍;

　　4 對(duì)稱變換：ⅰ ;ⅱ ;

　　ⅲ ; ⅳ ;

　　5 翻轉(zhuǎn)變換：

　?、?———右不動(dòng)，右向左翻( 在 左側(cè)圖象去掉);

　?、?———上不動(dòng)，下向上翻(| |在 下面無圖象);

　　11.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱性的證明

　　(1)證明函數(shù) 圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;

　　(2)證明函數(shù) 與 圖象的對(duì)稱性，即證明 圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)在 的圖象上，反之亦然;

　　注：

　　①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

　?、谇€C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a-x, y)=0;

　　③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　?、躥(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱;

　　特別地：f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

　?、莺瘮?shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱;

　　12.函數(shù)零點(diǎn)的求法：

　　⑴直接法(求 的根);⑵圖象法;⑶二分法.

　　13.導(dǎo)數(shù)

　?、艑?dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作 ;

　　⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ① ;② ;③ ;

　　④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;

　?、?。

　　⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

　?、?理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

　?、蓪?dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

　?、倮脤?dǎo)數(shù)求切線：注意：ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線?

　?、诶脤?dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：

　?、?是增函數(shù);ⅱ 為減函數(shù);

　?、?為常數(shù);

　?、劾脤?dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù) ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得極值。

　?、芾脤?dǎo)數(shù)最大值與最小值：ⅰ求的極值;ⅱ求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有);ⅲ得最值。

　　14.(理科)定積分

　　⑴定積分的定義：

　?、贫ǚe分的性質(zhì)：① ( 常數(shù));

　?、?;

　?、?(其中 。

　?、俏⒎e分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式)：

　　⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積： ;

　　3 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程： ;③求變力做功： 。

　　第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

　　1.⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度

　?、苹￠L公式： ;扇形面積公式： 。

　　2.三角函數(shù)定義：角 中邊上任意一點(diǎn) 為 ，設(shè) 則：

　　3.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦;

　　4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不(改)變，符號(hào)看象限”;

　　5.⑴ 對(duì)稱軸： ;對(duì)稱中心： ;

　　⑵ 對(duì)稱軸： ;對(duì)稱中心： ;

　　6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： ;

　　7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①

　?、?③ 。

　　8.二倍角公式：① ;

　?、?;③ 。

　　9.正、余弦定理：

　?、耪叶ɡ恚?( 是 外接圓直徑 )

　　注：① ;② ;③ 。

　　⑵余弦定理： 等三個(gè);注： 等三個(gè)。

　　10。幾個(gè)公式:

　　⑴三角形面積公式： ;

　?、苾?nèi)切圓半徑r= ;外接圓直徑2R=

　　11.已知 時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：

　　第四部分 立體幾何

　　1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為 。

　　2.表(側(cè))面積與體積公式：

　　⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V=S底h

　?、棋F體：①表面積：S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= S底h：

　?、桥_(tái)體：①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= (S+ )h;

　?、惹蝮w：①表面積：S= ;②體積：V= 。

　　3.位置關(guān)系的證明(主要方法)：

　?、胖本€與直線平行：①公理4;②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理。

　?、浦本€與平面平行：①線面平行的判定定理;②面面平行 線面平行。

　　⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。

　?、戎本€與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理。

　?、善矫媾c平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。

　　注：理科還可用向量法。

　　4.求角：(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)

　?、女惷嬷本€所成角的求法：

　　1 平移法：平移直線，2 構(gòu)造三角形;

　　3 ②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長方體等，4 發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。

　　注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。

　?、浦本€與平面所成的角：

　　①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin 。

　　注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。

　　⑶二面角的求法：

　?、俣x法：在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，作出平面角，再求解;

　?、谌咕€法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作(或找)到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;

　　③射影法：利用面積射影公式： ,其中 為平面角的大小;

　　注：對(duì)于沒有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法;

　　理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)班平面法向量的夾角。

　　5.求距離：(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)

　?、艃僧惷嬷本€間的距離：一般先作出公垂線段，再進(jìn)行計(jì)算;

　　⑵點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解;

　?、屈c(diǎn)到平面的距離：

　　①垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段(確定已知面的垂面是關(guān)鍵)，再求解;

　　5 等體積法;

　　理科還可用向量法： 。

　?、惹蛎婢嚯x：(步驟)

　　(Ⅰ)求線段AB的長;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度數(shù);(Ⅲ)求劣弧AB的長。

　　6.結(jié)論：

　?、艔囊稽c(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;

　　⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

　?、钦忮F的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為 ，則S側(cè)cos =S底;

　?、乳L方體的性質(zhì)

　　①長方體體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為 則：cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。

　?、陂L方體體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為 則有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。

　?、烧拿骟w的性質(zhì)：設(shè)棱長為 ，則正四面體的：

　　1 高： ;②對(duì)棱間距離： ;③相鄰兩面所成角余弦值： ;④內(nèi)切2 球半徑： ;外接球半徑： ;

　　第五部分 直線與圓

　　1.直線方程

　?、劈c(diǎn)斜式： ;⑵斜截式： ;⑶截距式： ;

　?、葍牲c(diǎn)式： ;⑸一般式： ，(A，B不全為0)。

　　(直線的方向向量：( ，法向量(

　　2.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：

　　(1)列約束條件;(2)作可行域，寫目標(biāo)函數(shù);(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

　　3.兩條直線的位置關(guān)系：

　　4.直線系

　　5.幾個(gè)公式

　?、旁O(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：( );

　?、泣c(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離： ;

　?、莾蓷l平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是 ;

　　6.圓的方程：

　?、艠?biāo)準(zhǔn)方程：① ;② 。

　?、埔话惴匠蹋?(

　　注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;

　　7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法;⑵幾何法;⑶圓系法。

　　8.圓系：

　　⑴ ;

　　注：當(dāng) 時(shí)表示兩圓交線。

　　⑵ 。

　　9.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：(主要掌握幾何法)

　?、劈c(diǎn)與圓的位置關(guān)系：( 表示點(diǎn)到圓心的距離)

　?、?點(diǎn)在圓上;② 點(diǎn)在圓內(nèi);③ 點(diǎn)在圓外。

　?、浦本€與圓的位置關(guān)系：( 表示圓心到直線的距離)

　?、?相切;② 相交;③ 相離。

　?、菆A與圓的位置關(guān)系：( 表示圓心距， 表示兩圓半徑，且 )

　?、?相離;② 外切;③ 相交;

　　④ 內(nèi)切;⑤ 內(nèi)含。

　　10.與圓有關(guān)的結(jié)論：

　?、胚^圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2;

　　過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;

　　⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

　　第六部分 圓錐曲線

　　1.定義：⑴橢圓： ;

　?、齐p曲線： ;⑶拋物線：略

　　2.結(jié)論

　?、沤拱霃剑孩贆E圓： (e為離心率); (左“+”右“-”);

　　②拋物線：

　?、葡议L公式：

　　;

　　注：(Ⅰ)焦點(diǎn)弦長：①橢圓： ;②拋物線： =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通徑(最短弦)：①橢圓、雙曲線： ;②拋物線：2p。

　?、沁^兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： ( 同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓， 時(shí)表示雙曲線);

　?、葯E圓中的結(jié)論：

　?、賰?nèi)接矩形最大面積 ：2ab;

　?、赑，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP 0Q，則 ;

　?、蹤E圓焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>. ，( );<Ⅱ>.點(diǎn) 是 內(nèi)心， 交 于點(diǎn) ，則 ;

　?、墚?dāng)點(diǎn) 與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí) 最大;

　?、呻p曲線中的結(jié)論：

　　①雙曲線 (a>0,b>0)的漸近線： ;

　?、诠矟u進(jìn)線 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 為參數(shù)， ≠0);

　?、垭p曲線焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>. ，( );<Ⅱ>.P是雙曲線 - =1(a>0，b>0)的左(右)支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為 ;

　?、茈p曲線為等軸雙曲線 漸近線為 漸近線互相垂直;

　　(6)拋物線中的結(jié)論：

　?、賿佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;

　　<Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)為直徑的圓與 軸相切;<Ⅴ>. 。

　　②拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：

　　<Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒過定點(diǎn) ;

　　<Ⅲ>. 中點(diǎn)軌跡方程： ;<Ⅳ>. ，則 軌跡方程為： ;<Ⅴ>. 。

　?、蹝佄锞€y2=2px(p>0)，對(duì)稱軸上一定點(diǎn) ，則：

　　<Ⅰ>.當(dāng) 時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為 ;<Ⅱ>.當(dāng) 時(shí)，拋物線上有關(guān)于 軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為 。

　　3.直線與圓錐曲線問題解法：

　　⑴直接法(通法)：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。

　　注意以下問題：

　　①聯(lián)立的關(guān)于“ ”還是關(guān)于“ ”的一元二次方程?

　?、谥本€斜率不存在時(shí)考慮了嗎?

　?、叟袆e式驗(yàn)證了嗎?

　?、圃O(shè)而不求(代點(diǎn)相減法)：--------處理弦中點(diǎn)問題

　　步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解決問題。

　　4.求軌跡的常用方法：(1)定義法：利用圓錐曲線的定義; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法);⑷待定系數(shù)法;(5)參數(shù)法;(6)交軌法。

　　第七部分 平面向量

　　⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0;

　?、?a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .

　?、芶•b=|a||b|cos=x2+y1y2;

　　注：①|(zhì)a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;

　　6 a•b的幾何意義：a•b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。

　　⑶cos= ;

　?、热c(diǎn)共線的充要條件：P，A，B三點(diǎn)共線 ;

　　附：(理科)P，A，B，C四點(diǎn)共面 。

　　第八部分 數(shù)列

　　1.定義：

　?、诺炔顢?shù)列 ;

　　⑵等比數(shù)列

　　;

　　2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)

　　等差數(shù)列 等比數(shù)列

　　通項(xiàng)公式

　　前n項(xiàng)和

　　性質(zhì) ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;

　?、趍+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq ②m+n=p+q時(shí)aman=apaq

　　③ 成AP ③ 成GP

　?、?成AP, ④ 成GP,

　　等差數(shù)列特有性質(zhì)：

　　1 項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ;

　　2 項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)：S2n-1=(2n-1) ; ; ;

　　3 若 ;若 ;

　　若 。

　　3.數(shù)列通項(xiàng)的求法：

　?、欧治龇?⑵定義法(利用AP,GP的定義);⑶公式法：累加法( ;

　　⑷疊乘法( 型);⑸構(gòu)造法( 型);(6)迭代法;

　?、碎g接法(例如： );⑻作商法( 型);⑼待定系數(shù)法;⑽(理科)數(shù)學(xué)歸納法。

　　注：當(dāng)遇到 時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果是分段形式。

　　4.前 項(xiàng)和的求法：

　?、挪?、并、裂項(xiàng)法;⑵倒序相加法;⑶錯(cuò)位相減法。

　　5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：

　?、?;⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

　　第九部分 不等式

　　1.均值不等式：

　　注意：①一正二定三相等;②變形， 。

　　2.絕對(duì)值不等式：

　　3.不等式的性質(zhì)：

　?、?;⑵ ;⑶ ;

　　;⑷ ; ;

　　;⑸ ;(6)

　　。

　　4.不等式等證明(主要)方法：

　?、疟容^法：作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。

　　第十部分 復(fù)數(shù)

　　1.概念：

　?、舲=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0;

　?、苲=a+bi是虛數(shù) b≠0(a,b∈R);

　?、莦=a+bi是純虛數(shù) a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0;

　?、萢+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R);

　　2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，則：

　　(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;

　　3.幾個(gè)重要的結(jié)論：

　　;⑶ ;⑷

　　⑸ 性質(zhì)：T=4; ;

　　(6) 以3為周期，且 ; =0;

　　(7) 。

　　4.運(yùn)算律：(1)

　　5.共軛的性質(zhì)：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。

　　6.模的性質(zhì)：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;

　　第十一部分 概率

　　1.事件的關(guān)系：

　　⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作 ;

　?、剖录嗀與事件B相等：若 ，則事件A與B相等，記作A=B;

　?、遣?和)事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作 (或 );

　　⑷并(積)事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作 (或 ) ;

　?、墒录嗀與事件B互斥：若 為不可能事件( )，則事件A與互斥;

　　(6)對(duì)立事件： 為不可能事件， 為必然事件，則A與B互為對(duì)立事件。

　　2.概率公式：

　?、呕コ馐录?有一個(gè)發(fā)生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B);

　?、乒诺涓判停?;

　　⑶幾何概型： ;

　　第十二部分 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

　　1.抽樣方法

　?、藕?jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，通過逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱這種抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

　　注：①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 ;

　?、诔Ｓ玫暮?jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法;隨機(jī)數(shù)法。

　?、葡到y(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的

　　規(guī)則，從每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。

　　注：步驟：①編號(hào);②分段;③在第一段采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定其時(shí)個(gè)體編號(hào) ;

　　④按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。

　　⑶分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。

　　注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)

　　2.總體特征數(shù)的估計(jì)：

　?、艠颖酒骄鶖?shù) ;

　?、茦颖痉讲?;

　?、菢颖緲?biāo)準(zhǔn)差 = ;

　　3.相關(guān)系數(shù)(判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性)：

　　注：⑴ >0時(shí)，變量 正相關(guān); <0時(shí)，變量 負(fù)相關(guān);

　?、脾?越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);② 接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。

　　4.回歸分析中回歸效果的判定：

　　⑴總偏差平方和： ⑵殘差： ;⑶殘差平方和： ;⑷回歸平方和： - ;⑸相關(guān)指數(shù) 。

　　注：① 得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好;

　?、?越接近于1，，則回歸效果越好。

　　5.獨(dú)立性檢驗(yàn)(分類變量關(guān)系)：

　　隨機(jī)變量 越大，說明兩個(gè)分類變量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。

　　第十四部分 常用邏輯用語與推理證明

　　1. 四種命題：

　　⑴原命題：若p則q; ⑵逆命題：若q則p;

　?、欠衩}：若 p則 q;⑷逆否命題：若 q則 p

　　注：原命題與逆否命題等價(jià);逆命題與否命題等價(jià)。

　　2.充要條件的判斷：

　　(1)定義法----正、反方向推理;

　　(2)利用集合間的包含關(guān)系：例如：若 ，則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件;

　　3.邏輯連接詞：

　?、徘?and) ：命題形式 p q; p q p q p q p

　?、苹?or)：命題形式 p q; 真 真 真 真 假

　　⑶非(not)：命題形式 p . 真 假 假 真 假

　　假 真 假 真 真

　　假 假 假 假 真

　　4.全稱量詞與存在量詞

　?、湃Q量詞-------“所有的”、“任意一個(gè)”等，用 表示;

　　全稱命題p： ;

　　全稱命題p的否定 p： 。

　?、拼嬖诹吭~--------“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用 表示;

　　特稱命題p： ;

　　特稱命題p的否定 p： ;

　　第十五部分 推理與證明

　　1.推理：

　　⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。

　?、贇w納推理：由某類食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡(jiǎn)稱歸納。

　　注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。

　?、陬惐韧评恚河蓛深悓?duì)象具有類似和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡(jiǎn)稱類比。

　　注：類比推理是特殊到特殊的推理。

　?、蒲堇[推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。

　　注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

　　“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

　?、糯笄疤?--------已知的一般結(jié)論;

　?、菩∏疤?--------所研究的特殊情況;

　?、墙Y(jié) 論---------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

　　二.證明

　　⒈直接證明

　?、啪C合法

　　一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā?/p>

　?、品治龇?/p>

　　一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

　　2.間接證明------反證法

　　一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

　　附：數(shù)學(xué)歸納法(僅限理科)

　　一般的證明一個(gè)與正整數(shù) 有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：

　?、抛C明當(dāng) 取第一個(gè)值 是命題成立;

　?、萍僭O(shè)當(dāng) 命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立。

　　那么由⑴⑵就可以判定命題對(duì)從 開始所有的正整數(shù)都成立。

　　這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。

　　注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行;

　　3 的取值視題目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。

　　第十六部分 理科選修部分

　　1. 排列、組合和二項(xiàng)式定理

　?、排帕袛?shù)公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

　?、平M合數(shù)公式： (m≤n), ;

　?、墙M合數(shù)性質(zhì)： ;

　　⑷二項(xiàng)式定理：

　?、偻?xiàng)： ②注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別;

　　⑸二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

　?、倥c首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等;②若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)(第 +1項(xiàng))二項(xiàng)式系數(shù)最大;若n為奇數(shù)，中間兩項(xiàng)(第 和 +1項(xiàng))二項(xiàng)式系數(shù)最大;

　?、?/p>

　　(6)求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和或奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)，注意運(yùn)用賦值法。

　　2. 概率與統(tǒng)計(jì)

　?、烹S機(jī)變量的分布列：

　?、匐S機(jī)變量分布列的性質(zhì)：pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;

　　②離散型隨機(jī)變量：

　　X x1 X2 … xn …

　　P P1 P2 … Pn …

　　期望：EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;

　　方差：DX= ;

　　注： ;

　?、蹆牲c(diǎn)分布：

　　X 0 1 期望：EX=p;方差：DX=p(1-p).

　　P 1-p p

　　4 超幾何分布：

　　一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則 其中， 。

　　稱分布列

　　X 0 1 … m

　　P …

　　為超幾何分布列， 稱X服從超幾何分布。

　　⑤二項(xiàng)分布(獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))：

　　若X～B(n,p),則EX=np, DX=np(1- p);注： 。

　?、茥l件概率：稱 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。

　　注：①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

　?、仟?dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。

　?、日龖B(tài)總體的概率密度函數(shù)： 式中 是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)(期望值)與標(biāo)準(zhǔn)差;

　　(6)正態(tài)曲線的性質(zhì)：

　?、偾€位于x軸上方，與x軸不相交;②曲線是單峰的，關(guān)于直線x= 對(duì)稱;

　　③曲線在x= 處達(dá)到峰值 ;④曲線與x軸之間的面積為1;

　　5 當(dāng) 一定時(shí)，6 曲線隨 質(zhì)的變化沿x軸平移;

　　7 當(dāng) 一定時(shí)，8 曲線形狀由 確定： 越大，9 曲線越“矮胖”，10 表示總體分布越集中;

　　越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布越分散。

　　注：P =0.6826;P =0.9544

　　P =0.9974